限制国际的规则是否答应咱们准确地猜测到将来会有什么发作在咱们身上？
“简略的答复便是否定的，也是必定的。在原则上，规则答应咱们猜测未来。但在实践中，一般核算都太难了。”
——《十问：霍金深思录》
1
咱们可以猜测未来吗？这是一个许多人都在企图答复的问题。
假定这个未来是之后的一秒，那么对咱们周围的大多数事物来说，一秒并不会发作太多改变。
假定这个未来是接下来的一小时，咱们可以十分确认地说，咱们的房子还在，咱们所在城市不会忽然消失，咱们会变得略微老一点点。
假定这个未来是一天，咱们依然可以成功地猜测一些作业。例如，火车时刻列表是相同的，这个国际还在。但有些作业却或许现已发作了很大的改变，比方股市或许在一天内崩盘了，一场风暴或许来袭。
假定这个未来是一个月，乃至一年，咱们就会发现时刻越长远，不确认性就越大。例如，你会信任一个月后的气候预报吗？你能准确地猜测一年后的经济状况吗？
量子力学的奠基人之一玻尔（Niels Bohr）曾说过：“猜测任何东西都是极端困难的，尤其是关于未来。”
能解说事物怎么改变是咱们猜测事物的要害。改变往往是缓慢的，比方在生物学的进化体系；有时，改变又十分快，比方火山迸发。在某种含义上，两者都是可猜测的事情。难以猜测的是忽然的改变——比方一个看似安稳的体系忽然发作灾难性的改变。
这种严重的改变或许是由一个忽然的外部要素引起的，也或许是由许多弱小的原因堆集而致的。前者的比方有6500万年前因小行星碰击地球而导致的恐龙消亡，后者的比方常被描绘为是压垮骆驼的终究一根稻草，比方雪崩以及战役的迸发等等。
关于猜测，有一个在哲学上好像对立的问题，那便是：咱们能否猜测不行猜测的事？
或许，数学能帮咱们答复这个问题。
2
这个国际是全然随机的吗？仍是说它具有某些次序与形式？
很明显，大天然背面的确存在着根本的形式。正是由于认识到了这一点，人类才走上了通往现代化的路途，带来了科学的革新。可以说，科学所寻觅的正是国际的次序与形式。而数学不仅仅这些形式的根底，它还为咱们供给了一种描绘国际的办法。
假定你仔细调查，你能看到在咱们的周围充满了次序与形式。例如雪花便是一个比方，尽管每一片雪花都不相同，但它们都有着准确的六倍对称。
天然界中遍及着高度规则的形式，咱们早已习以为常，却鲜少停下往来不断考虑它们为什么存在。但是，不管是雪花的形状，仍是晶体的原子摆放，又或是岩石的折叠，它们背面都有着十分根本而又了不得的成因。而更令人惊叹的是，一些巨大的脑筋调查到了恒星和行星运动的次序和形式，然后打开了通往现代国际的大门。
在这里，有一位不得不提到的科学家，那便是伽利略（Galileo Galilei）。1581年，伽利略在比萨大教堂中调查青铜吊灯的摇摆时，他认识到吊灯的摇摆是受可猜测的规则分配的。他发现在气流影响下晃动的吊灯，不管其摇摆的起伏为何，来回摇摆一次所花的时刻都是相同。然后，他用自己的脉息来计时，在家里用巨细不同但长度相同的钟摆来进行实验。终究证明晰钟摆的摇摆时刻并不取决于它的巨细，也不取决于它的方位，只取决于它的长度。
从此，钟摆的摇摆成为了可猜测的信息。不过其时的伽利略并不知道为什么会是这样，在他逝世后不久，另一位巨大的科学家诞生了，那便是牛顿（Issac Newton）。
牛顿发现了许多隐藏在国际形式背面的规则，并且还发明晰微积分等数学技能，这为咱们了解国际的根本规则供给了重要东西。牛顿用他的三大运动规则清楚地描绘了运动物体的运动办法。这些规则悉数可以用数学来描绘，特别是微分方程，可以准确地描绘运动怎么随时刻演化。
运用微分方程在动力体系理论中所起的中心效果，终究可以得到钟摆的长度（l）与摇摆周期（T）之间的准确数学联系：
假定钟摆的长度l=1m，那么T=2.00607，其间g=9.81ms .
这与伽利略的观测彻底符合。
牛顿成功地将运动规则转化成了数学，然后用数学的解来猜测体系在未来的行为。这为了解国际的一般办法供给了一个思路：
写下描绘物理体系的数学方程；
解方程；
再用方程的解来猜测未来。
这是一个真实的开创性主意，是科学发展史中转机性的时刻。
1781年，在赫歇尔（Herschel）发现天王星之后，运用牛顿的引力理论核算出了它的轨迹。在此之前，天文学家现已用这种办法很完美地对其他行星的方位进行了猜测。因而当他们发现牛顿理论的猜测和天王星的方位之间存在一点小小的误差时，他们十分震动。
问题究竟出在哪？数学家亚当斯（John Couch Adams）和勒威耶（Urbain le Verrier）估测或许存在另一颗行星影响了天王星的轨迹。他们再次运用牛顿的理论，准确地猜测出了这颗不知道行星的方位。1846年，天文学家加勒（Galle）将望远镜对准了正确的方向，正如猜测的那般，他发现了海王星的存在。
在数学的协助下，天文学家发现了海王星。
这个巨大的成功给了数学家们极大的决心，这标明通过将调查到的国际形式转化成数学，就可以对不知道事物的存在作出猜测。到了1860年，麦克斯韦（John Clerk Maxwell）通过将法拉第（Faradays）的电和磁规则写成数学方程再求解之后，预言了电磁波的存在。
现在，咱们猜测未来气候也有着相似的作业原理，咱们会运用当天的气候，然后求解纳维-斯托克斯大气运动方程和热力学方程以调查大气的演化。这些都是杂乱性极高的方程，需要用核算机才可以求解。现在，咱们已可以满足准确地完结这些核算，以较高的精度猜测未来的气候。
纳维-斯托克斯方程组。
在19世纪，人们认为国际是由遵守牛顿规则的原子组成的，因而咱们可以高度准确地猜测原子的运动。法国数学家拉普拉斯（Pierre Simon Laplace）在1814年宣布了一则斗胆的声明，他说：
咱们可以把国际现在的状况视为其曩昔的果以及未来的因。假定一位智者能知道在某一时刻一切促进天然运动的力和一切构成天然的物体的方位，假定他也可以对这些数据进行剖析，那么在国际中，从最大的物体到最小的粒子，它们的运动都包含在一条简略的公式里。关于这位智者来说，没有任何事物会是迷糊的，并且未来只会像曩昔般呈现在他眼前。
这个智者被后人称为“拉普拉斯妖”。
拉普拉斯年代以来，国际在一个时刻的状况确认其他一切时刻的状况的思维一向说是科学的中心信条。这意味着咱们至少在原则上可以猜测未来......
——《十问：霍金深思录》
咱们很难把拉普拉斯的斗胆猜测以及拉普拉斯妖与咱们所调查到的实践国际混为一谈，由于对人类而言，许多事情都是不行猜测的。现实上，人类的行为本质上是不行猜测的，咱们可以行使自在毅力。
不行猜测也发作在物质国际。比方咱们无法准确猜测10天之后的气候，相同咱们也很难猜测气候现象，厄尔尼诺南边涛动现象（ENSO）便是一个很好的比方。
不行猜测性的无处不在好像与拉普拉斯猜测的有序国际相对立。伴跟着牛顿规则在猜测未来方面上的许多成功事例，咱们不由要问这样一个问题：
咱们在天然界中看到的许多不行猜测性真的是由于天然界的杂乱性和无法解说性导致的吗？仍是说，看似不行猜测的行为实践上能从受牛顿规则分配的体系中发作？
3
咱们可以通过一个相对简略的体系来答复这个问题，那便是双摆体系。双摆体系是由两个单摆耦合在一起构成的，它是伽利略对单摆研讨的延伸，明显，这个体系也受牛顿运动规则的分配。
这个体系只要两个运动的部分，即上半部分的单摆和底部的单摆，每个部分都有方位和角速度这两个变量。因而这个体系可以简化为4个自在度。这比有着数十亿个自在度的气候要少得多。但即便如此，双摆的行为依然十分杂乱，咱们可以将它的运动划分为三类。
假定上半部分和下半部分的单摆以较小的视点被拉到同一边（下图左），那么它们会像单摆相同以规则的办法同步摇摆；假定这两个部分以较小的视点被拉向相反的方向（下图右），那么当它们被开释时则会继续朝着相反的方向运动，这种异相的运动会一向周期性地继续下去。
终究，假定咱们给钟摆一个大大的摇摆，那么双摆将以一种最不安稳的简直随机的办法运动。下图所示的便是这样一个比方，一盏灯被衔接到了双摆最低的部分，图中记载的便是它在这种情况下它随时刻的运动轨迹。不难看出，它的运动不只杂乱，并且极难猜测。这样的运动现已彻底不符合咱们前面所描绘的可猜测性，而是成为了混沌运动。
或许有人会说这种混沌运动之所以看似随机，是由于双摆仅仅对随机气流做出反响。但是现实却并非如此。依据牛顿运动规则，咱们可以用一对耦合的非线性二阶常微分方程来描绘这样一个双摆体系的运动：
θ：视点，l：长度，m：质量。
假定夹角较小，则可以用线性迫临，对体系进行准确求解，猜测上述的同相和异相行为。但假定夹角很大，则只能运用核算机来进行数值求解了。在彻底根据牛顿运动规则的根底上，核算机可以给出与物理体系彻底相同的行为，这标明混沌行为的确可以作为牛顿方程的解存在。
那么咱们应该怎么界说混沌行为呢？数学家Chris Budd将其描绘为：
混沌运动是一种杂乱、不规则且不行猜测的行为，它发作于一个“简略”的体系，可以用“简略”的数学规则进行准确描绘。
混沌运动的一个要害特征在于它们对初始条件的敏感性，两个十分挨近的初始状况会以十分不同的办法进化，然后发作混沌。这种现象有一个通俗易懂的姓名——蝴蝶效应。蝴蝶效应的概念引发了群众的无限幻想，它标明即使是细小的改变也会对未来发作巨大的影响，这种观念好像能与咱们对国际怎么运转的一些观点发作共鸣。
这种混沌行为存在于许多物理体系中。比方一张紊乱的台球桌，台球在桌子上撞来撞去，它们的运动形式是高度杂乱的，但是，就像双摆相同，它发作于十分简略的运动规则。
这个场景在光学、声学以及高频WiFi中都有十分实践的使用。就拿WiFi来说，上图中的线就对应于电磁辐射射线。这张杂乱特殊的图片意味着真实的混沌行为无处不在，咱们很难猜测一个房间内的WiFi掩盖强度。
…… 但是，在实践中，咱们猜测未来的才能受限于方程的杂乱性以及它们一般具有称为混沌的特点这一现实。
——《十问：霍金深思录》
4
混沌理论起源于洛伦兹（E. Lorenz）在1963年宣布的一篇论文，其时他正在企图研讨大气的运动。通过很多简化之后，他将体系简化为三个常微分方程：
在20世纪60年代曾经，要准确地解出这个方程组是不或许的。但之后快速数字核算机的呈现，使求解成为或许，其成果让洛伦兹十分惊奇。他得到的成果并没有呈现他以为会呈现的周期行为，而是以一种不安稳的办法呈现，他称之为混沌。
下图显现的是用一组具有气候含义的固定参数所制作的x(t)演化图，图中显现了跟着时刻的推移具有杂乱轨迹的混沌行为。这张图采用了x(0)的两个略微不同的初始条件（图顶用黄线和蓝线表明），在t=24时，它们的轨迹都十分挨近，但在t=24之后，它们开端呈现明显的差异。
将x(t)和y(t)制作在一起更能阐明问题。鄙人图中，点(x, y)环绕一个蝴蝶形状的调集运动。这个调集被称为奇特招引子，由于它能招引一切的轨迹，但它既不是周期性的，也不是一个定点。尽管招引子周围的点都是混沌的，但招引子自身的形状却是确认的。奇特招引子自身具有杰出的结构，它是分形集的一个比方。
上世纪60年代发现的混沌在其时引发了很大的颤动，它招引了许多学者的重视，也掀起了群众媒体对此的报导热心，其间还包含很多的炒作。不过，混沌动力学的发现其实发作在更早的时分，它的发现很大程度上要归功于巨大的法国数学家庞加莱（Henri Poincare）。
三体模仿。
其时，庞加莱正在研讨太阳系的安稳性。咱们知道，假定一颗行星绕着太阳旋转，那么它的运动是周期性的，并且可以用牛顿规则准确地猜测出来。但是，庞加莱证明晰一个由三个质量相似的物体组成的体系在万有引力效果下只会在不规则轨迹上运动。
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咱们很难看出洛伦兹体系中的混沌行为是怎么发作的，因而咱们可以研讨一个更为简略的体系，它也具有相似的混沌行为，那便是闻名的逻辑斯谛映射（Logistic Map）。假定咱们要猜测一个乡镇从一年到来年的人口，咱们设xn为这个乡镇在未来第n年的人口数，也便是说n=0为已知的当时年份的乡镇人口数（x）。
1798年，马尔萨斯（Malthus）在《人口原理》一文中提出了一个简略的人口增加模型。他假定，任何一年的出世人口份额是固定的，逝世人口份额也是固定的。这意味着在n+1年的人口将与n年的人口成份额：
a是份额常数。
这是一个离散动力体系的比方。在这种情况下，马尔萨斯模型给出了简略且可猜测的解：
假定a，则人口数量削减；假定a=1，人口数量坚持不变；假定a>1，则人口数量呈现无限制地增加，即所谓的马尔萨斯增加。马尔萨斯自己也认识到这是种不实践的模型，由于人口终究会耗尽资源，然后开端下降。一种解决办法是引进人口的上限M，以便将资源的有限程度归入考量，所以修正过的马尔萨斯模型变成了：
将以上等式稍做变形，便得到了闻名的人口增加逻辑斯谛映射模型：
这个体系只要在r=0和r=4两种情况下才有准确解。
下图所示的是2.4的逻辑斯谛映射图。从这个图中咱们可以清楚地看到当r时存在一个固定的点，在r趋近于3的时分，一个点变成了两个点的双循环，当r>3.56995时，混沌行为呈现了。不过在r=3.828邻近也存在一个安稳的三循环。数学家一向在为了更好地了解这张图而尽力。
动力体系其实便是一个会随时刻演化的体系，它可以由一个状况向量x(t)描绘。它可以是一个接连的时刻函数（如双摆体系），也可以是离散时刻的函数（如逻辑斯谛映射）。跟着动力体系的参数发作改变，它的状况也会发作改变。一个状况可以被发明，可以消失，可以失掉它的安稳性，也可以变成另一种状况，就如咱们在逻辑斯谛映射图中所看到的那样。
咱们常听人提到“压死骆驼的终究一根稻草”这句话，其实在这个场景下，骆驼——或许更切当地说是骆驼的背部，便是一个动力学体系的解，这个体系的参数是它背上的稻草量。假定稻草的量少，那么驼背便是这个动力体系的一个安稳的固定点。但在跟着加载参数迫临临界值，固定点变得不再安稳，其成果便是导致驼背开裂。
在这里，咱们看到了一个临界点，超越这个临界点，操控这个体系的参数发作的一点细小的改变就能导致体系终究状况呈现一个不行逆的巨大改变。数学家现已对这些状况的转化进行了十分具体的研讨，它们可以用“不合理论”来解说。就如上图所示的逻辑斯谛映射图中呈现的不合点就显现了许多与其相关的特征，包含闻名的“通往混沌的周期倍增道路”。
6
混沌理论有用吗？
没错，许多数学理论在一开端时都很笼统，你很难幻想它的用处，但它们却能在后来成为科学和技能的中心。混沌理论便是很好的比方。洛伦兹在20世纪60年代的作业在很大程度上都是理论性的，但人们很快认识到，许多物理体系的确有十分混沌的行为。许多其他重要体系也被认为是混沌的，比方气候、汽车尾气、电力供应体系、冲突刹车、气候改变、WiFi、脑电图信号、心电图信号以及小行星的运动等等。混沌理论使咱们可以了解、丈量，并在某些情况下操控这些混沌体系表现出的不确认性行为。
现在咱们认识到，混沌行为是由杂乱的、非线性的、确认性进程操控的任何事物的天然形式的一部分。小行星便是一个很好的比方，它们有着十分杂乱的轨迹，这是咱们有必要了解的现实，不然咱们或许无法猜测小行星是否以及何时会碰击地球。从这个视点看，混沌理论在解救人类方面还具有至关重要的含义！
当然混沌还有一些不这么耸人听闻的使用。例如，混沌理论在核算机图形学中扮演着越来越重要的效果。混沌理论简直有着无限的使用，尽管它带来的好像是紊乱和不行猜测性，但它却是咱们了解国际的一种至关重要的办法。
