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有理数是简略的数，用来计数的数以及一切能写成分数的数字都是有理数。但实际上，在数字的王国中，咱们了解的有理数是少量的存在，绝大大都都是无理数。无理数是那些没有止境、能够永无止尽地继续下去的数字，比方π、√2等等，它们不能被写成分数，无处不在却又难以捉摸。
假设咱们不能简略、准确地表述无理数，那么咱们能够怎么近似？一般，当咱们需求用到这些数字时，会四舍五入地取到它们的某一位小数，例如π一般被取为3.14，等于157/50。可是，另一个分数22/7好像更挨近π的值。如此一来，就引出了一系列问题：终究这些近似能够多准确呢？这种准确性是否存在一个极限？恣意方式的分数都可被用来近似吗？
寻觅无理数的近似值
1837年，数学家Gustav Lejeune Dirichlet发现，只需你对差错不太介意，就很简略找到无理数的近似值。他证明了关于每一个无理数来说，都存在无量多个分数与这个数字邻近。从某种含义上看，这是对有理近似的一种狭窄表述：假设用来近似的分数的分母能够是恣意整数，且假设能够答应的近似差错为1除这个以这个分母数的平方，那么每个无理数都能够近似成无量多个分数。
可是，假设你期望分母是从整数的某个子会集抽取的数，比方一切质数，或许一切的彻底平方数，状况又会怎么呢？再比方，假设你想让近似的差错是某个特定的值，那么在这种特别的条件下，咱们是否还能得到无量多个近似分数？
1941年，物理学家Richard Duffin和数学家Albert Schaeffer提出了一个简略的猜测来答复这些问题。当要对无理数进行近似时，首要要选一个无限长的分母序列，这能够是一个恣意数的列表，比方一切奇数、一切偶数、一切10的倍数，或许一切质数等等的序列。
接着要确认的便是关于列表中的每个数字来说，想要以多高的准确度来近似一个无理数。比方以n/2为方式的分数能够近似任何近似“差错”在1/10以内的数；以n/10为方式的分数能够近似差错在1/100以内的任何数。
直觉上看，假设所答应的差错越大，那么完成近似的或许性也就越大；答应的差错越小，那么完成近似也就变得越难。接下来，就能够依据现已有的分母序列和现已设定好的“差错”巨细，探寻是否能找到无限多个分数来近似一切无理数吗？
Duffin和Schaeffer依据差错的巨细来衡量什么时候能够这样做。假设所挑选的差错总体上满足小，那么随机挑选的无理数就只有有限个好的近似：它或许会落入具有某些特定分母的近似值之间的空隙。可是假设差错满足大，就会有无量多个能发生一个很好的近似分数的分母。在这种状况下，假设差错也跟着分母的增大而减小，那么就能够挑选一个尽或许准确的近似值。
因而Duffin和Schaeffer猜测这样的成果便是要么你所选的分母列表能以需求的准确度对一切无理数完成近似，要么就一个也不能近似。也便是说你要么能得到一切，要么一无一切，不存在中心地带。
这在有理近似中是一个十分遍及的表述，数学家大多以为Duffin和Schaeffer提出的标准是正确的。但是，要证明它的正确性却要困难得多，这个问题的证明也成为了数论中的一个具有里程碑含义的敞开性问题。
欧拉函数
假设你现在想要近似一切0到1之间的无理数，你挑选用的分母是1到10之间的整数，那么可用的分数便是：1/1、1/2、2/2、1/3、2/3……9/10、10/10。可是在这些分数中，有些数字是重复的，比方2/10=1/5、5/10=1/2等等。
因而，在Duffin-Schaeffer猜测中含有一个专门用来核算每个分母能够给出的仅有分数（最简分数）的数量的项，这个项被称为欧拉函数。比方10的欧拉函数是4，即1/10、3/10、7/10和9/10这四个数字。接下来是要核算出每个最简分数能够近似出多少无理数，这取决于可答应的差错巨细为多少。
一旦确认了分数并设置好了差错巨细，就能够开端寻觅无理数了。咱们能够在一条0到1的数轴上标记出这些分数，再把差错项描绘成从分数两头延伸出来的“网”。依据设定的条件，一切被网住的无理数都得到了很好的近似。那么接下来的一个大问题便是：被网住的无理数终究有多少个？
首要，在一条数轴上的恣意区间内都包含着无量多个无理数，因而咱们无法用一个准确的数值来表述被网住的无理数数量。所以数学家转而研讨被每个分数网起来的无理数总数的份额。Duffin-Schaeffer猜测是把每一个近似分数所网住的无理数调集的份额相加：假设这个和趋于无量，那么就意味着现已近似了一切无理数；假设这个和停在一个有限的值上，那就意味着你没有对完成任何无理数的近似。因而，这是一个关于无量序列终究是发散仍是收敛的问题。
总算，2019年夏，来自牛津大学和蒙特利尔大学的数学家James Maynard与Dimitris Koukoulopoulos在arXiv上宣布了他们的证明，让这个存在了近80年的难题得到了处理。
数字上的暗影
Maynard是一个数论学家，他一般的研讨课题与质数有关。在Maynard与Koukoulopoulos之前，大都相关研讨都把这个问题归结为分母的质因数问题。但Maynard主张把这个问题看作是数字上的暗影：比方在一根数轴上，把分母为100的分数邻近的一切无理数都涂上色彩，假设差错满足大，那么每一个其他以其他数字为分母的分数也或许掩盖这些无理数，这样一来，简直每一个无理数都会被上色无数次，如此不就导致了重复计数吗？
对某些近似数来说，这种重复计数的问题并不大，比方分母是由质数组成的分数。但对分母为其他的序列的状况来说，重复计数就会带来很大的应战。当两个分母有许多相同的质因数时，就会呈现这种重复计数的状况。例如，分母10和100都有质因数2和5，能以n/10的分数方式近似的数与能以n/100的分数近似的数具有高度的堆叠区域。
Maynard和Koukoulopoulos借用一堆点的图形处理了这个难题，不同的点代表了用来近似的分母，假设两个点有许多一起的质因数，就将这两个点连接起来。如此一来，图的结构就编码了这些分母所近似的无理数之间的堆叠。使用这种办法，他们不仅为这个猜测供给了证明，而且还能为其间所涉及到的结构问题供给明晰的可视信息。
数学家们以为，Maynard和Koukoulopoulos取得了数学上最难的一项成果之一。不过鉴于二人所宣布的证明长达44页，而且十分复杂，其他数学家或许还需求几个月的时刻才干悉数了解这种办法中的一切细节。
论文链接：
https://arxiv.org/pdf/1907.04593.pdf
参阅链接：
[1] https:///article/new-proof-solves-80-year-old-irrational-number-problem/
